Vektoru darbības koordinātās

Vektoru darbības koordinātās: kāpēc tas ir ērti

Ja vektors ir pierakstīts koordinātās, ar to var rīkoties daudz ātrāk nekā zīmējot katru reizi jaunu attēlu. Atliek strādāt ar skaitļiem, un rezultāts uzreiz parāda, kāds būs jaunais vektors plaknē vai telpā. Tas ir īpaši noderīgi, ja uzdevumā ir vairāki vektori vai jāstrādā ar trim koordinātām.

Galvenā doma ir vienkārša: katrai darbībai ar vektoriem atbilst darbība ar to koordinātām. Tāpēc svarīgi precīzi pierakstīt koordinātas pareizā secībā un nepārjaukt zīmes. Tieši te visbiežāk rodas kļūdas, nevis pašā rēķināšanā.

Vektoru saskaitīšana koordinātās

Ja divi vektori ir doti koordinātās, tos saskaita, saskaitot atbilstošās koordinātas. Plaknē tas nozīmē, ka saskaita pirmās koordinātas savā starpā un otrās koordinātas savā starpā. Telpā dara tieši to pašu arī trešajai koordinātai.

Piemērs plaknē:

a = (3; -2), b = (-5; 7)

Tad

a + b = (3 + (-5); -2 + 7) = (-2; 5)

Šo var pārbaudīt arī ar domu: pozitīvā un negatīvā daļa savstarpēji “atņem” viena otru. Taču rēķināšanā pietiek sekot formulai un uzmanīgi lietot iekavas.

Piemērs telpā:

u = (1; 4; -3), v = (2; -6; 5)

u + v = (1 + 2; 4 + (-6); -3 + 5) = (3; -2; 2)

Ja kādā koordinātā rezultāts ir nulle, tas nozīmē, ka šajā virzienā vektora “kustība” izlīdzinās. Tas ir pilnīgi normāli un bieži sastopams rezultāts.

Vektoru atņemšana koordinātās

Atņemšanā princips ir tāds pats: atņem atbilstošās koordinātas. Svarīgi ir ievērot, ka otrā vektora katra koordināta tiek atņemta kā viens vesels skaitlis, tāpēc negatīva zīme ir jāpieraksta precīzi.

Piemērs plaknē:

a = (8; -1), b = (3; 6)

a - b = (8 - 3; -1 - 6) = (5; -7)

Ja otrajam vektoram ir negatīva koordināta, tad atņemšana kļūst par saskaitīšanu ar pretēju skaitli. Piemēram:

(4; 9) - (-2; 5) = (4 - (-2); 9 - 5) = (6; 4)

Tas nozīmē, ka pirmās koordinātas starpā zīmes mainās “dubultā”: atņemot negatīvu skaitli, iegūst pozitīvu pieaugumu. Šo vietu vērts pārbaudīt īpaši rūpīgi.

Vektora reizināšana ar skaitli

Ja vektoru reizina ar skaitli, reizināšana jāizpilda katrai koordinātai atsevišķi. Skaitlis var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle. Tādējādi mainās ne tikai vektora garums, bet arī virziens, ja reizinātājs ir negatīvs.

Piemērs plaknē:

c = (2; -3)

3c = (3 · 2; 3 · (-3)) = (6; -9)

Ja reizinātājs ir negatīvs:

-2c = (-2 · 2; -2 · (-3)) = (-4; 6)

Šeit redzams, ka abas koordinātas maina zīmi. Tāpēc negatīvs reizinātājs vektoru ne tikai “izstiepj”, bet arī pagriež pretējā virzienā.

Ja reizinātājs ir nulle, iegūst:

0c = (0; 0)

Šādu rezultātu sauc par nulles vektoru. Tas ir īpašs gadījums, jo tam nav virziena.

Kā nepazaudēt precizitāti aprēķinos

Visdrošāk ir ievērot vienu un to pašu secību katrā uzdevumā:

1. pieraksti vektorus ar visām koordinātām;
2. salīdzini koordinātas pa pāriem;
3. veic darbību katrā vietā atsevišķi;
4. rezultātu ieraksti tajā pašā koordinātu secībā.

Īpaši palīdz ieradums visu rakstīt ar iekavām. Tas pasargā no kļūdām, ja koordinātas ir negatīvas. Piemēram, (7; -4) - (2; -9) ir daudz pārskatāmāks pieraksts nekā skaitļu uzrakstīšana bez skaidras struktūras.

Viegla pārbaudes metode

Pēc aprēķina vari sev pajautāt tikai vienu lietu: vai katrai koordinātai izdarīta tieši tā pati darbība, ko prasa uzdevums? Ja jā, tad risinājums ir pareizā formā. Ja saskaitīšana, atņemšana vai reizināšana ir izdarīta tikai vienā koordinātā, tas jau ir signāls, ka kaut kas izlaists.

Vēl viens labs paradums ir pārbaudīt, vai rezultāts ir uzrakstīts kā vektors, nevis kā atsevišķi skaitļi. Koordinātas vienmēr jānorāda kopā, jo tieši tās veido vektoru.

Ko noteikti atcerēties

• saskaitot vektorus, saskaita atbilstošās koordinātas;
• atņemot vektorus, atņem atbilstošās koordinātas;
• reizinot vektoru ar skaitli, sareizina katru koordinātu atsevišķi;
• negatīvs reizinātājs maina zīmes un virzienu;
• plaknē ir divas koordinātas, telpā — trīs.

Ja šo secību ievērosi, vektoru darbības koordinātās kļūs par ļoti ērtu un drošu rīku. Tas palīdzēs ātri atrisināt uzdevumus gan plaknē, gan telpā, nezaudējot skaidrību un precizitāti.